Unidad 1

Ecuación de Schödinger
Introducción a la Ecuación de Schödinger

De acuerdo con De Broglie, si los electrones se comportan como ondas estacionarias, debe existir una ecuación de ondas de modos normales. Suponiendo que los modos normales son análogos a los de una cuerda, la ecuación debe ser del tipo


Donde el número de ondas cumple


Por otra parte, podemos escribir el momento lineal en función de la energía total del electrón según




Con lo que nos queda la ecuación de Schödinger independiente del tiempo:





Del mismo modo que en el caso de la cuerda, la ecuación de modos debería poder deducirse por separación de variables de una ecuación general, que no contuviera las cantidades de separación cuantizadas (en este caso, la energía). Si suponemos que las ondas de electrones vienen definidas por una función de onda del tipo , la ecuación general hallada por Schödinger (y cuya validez viene tan solo justificada experimentalmente, ya que no es la única ecuación que da lugar a la ecuación de modos separada) es


El significado de la función de onda ha sido cuestionado por muchos físicos. La interpretación ortodoxa más comúnmente aceptada es que la cantidad representa la probabilidad de encontrar la partícula entre la posición y en el instante . Es decir, la magnitud actúa como una densidad de probabilidad, y por tanto deberá cumplir la condición de normalización




Para obtener de nuevo la ecuación de modos, podemos suponer que la dependencia del tiempo es oscilatoria, es decir


con lo que la distribución de probabilidad queda como


Espectro de energía

Podemos entender la ecuación de Schödinger como una ecuación de valores propios para un operador diferencial. En este caso, los valores propios son los diferentes niveles de energía permitidos, por lo que el operador diferencial está asociado a la magnitud observable ``energía''.

Según esta filosofía, cada magnitud física tendrá asociada un operador diferencial tal que sus valores propios son los valores permitidos de la magnitud,



Dado que el momento lineal de una partícula se puede escribir , debemos hallar un operador que al ser aplicado a una función de onda nos de un valor propio . El operador encontrado por Schödinger (avalado por la experimentación) es


con lo que el operador asociado a la energía será


Además, según los teoremas generales para ecuaciones de valores propios, si tenemos dos funciones de onda i asociadas a energías (valores propios) diferentes, se tiene la condición de ortogonalidad


Pozo de potencial
Un pozo de potencial esta caracterizado por una función potencial del tipo


El espacio queda dividido en tres zonas, (I) izquierda del pozo, (II) interior del pozo y (III) derecha del pozo. La solución a la ecuación de Schödinger en cada zona, si consideramos estados ligados con , vienen dadas por

donde

En un estado ligado, si la partícula no debe poder escapar totalmente del pozo, por lo que las condiciones de contorno son


Estas condiciones nos fijan . Además, como en la ecuación de modos normales aparecen derivadas segundas y el potencial tan solo presenta singularidades de salto, las soluciones y sus derivadas deben ser continuas


Como tanto el potencial como la ecuación tienen simetría de paridad, también la tendrán las soluciones, , y existirán soluciones pares y impares.

Las soluciones pares serán



donde la constante de normalización depende de la energía



Las condiciones de continuidad exigen

ecuación que determinará los valores posibles de la energía.
Por otra parte, las soluciones impares serán



donde la constante de normalización depende de la energía a través de y según



Las condiciones de suavidad ahora nos imponen la ley de cuantización


Se puede ver que siempre existe al menos una solución (par). Además, las soluciones están ordenadas, de menor a mayor energía, siguiendo siempre la secuencia par, impar, par...
Si definimos los parámetros del pozo


podemos escribir el potencial y la energía de cada modo según



mientras que las condiciones de cuantización, que nos permitirán conocer los valores posibles de son

Oscilador armónico
El potencial de oscilador armónico se puede escribir

con lo que la ecuación de Schödinger independiente del tiempo es


Para poder escribir la ecuación de forma adimensional, definimos los parámetros

si hacemos el cambio de variables (sin dimensiones), podemos escribir la ecuación como

De nuevo, las condiciones de contorno son . Las soluciones de esta ecuación solo pueden ser normalizadas si es igual a un número entero . La solución, una vez normalizada, resulta ser

donde son los polinomios de Hermite, definidos por la formula de Rodrígues

y los niveles de energía permitidos son

Estados no ligados

Volviendo al potencial de pozo, que ocurre si la energía es mayor que la barrera de potencial? En este caso, la solución puede escribirse como

donde

Si todas las partículas son emitidas desde la izquierda, no existe ninguna fuente en el lugar positivo de donde pueden venir partículas en dirección regresiva, es decir . Las condiciones de suavidad nos permiten hallar las constantes las demás constantes en función del flujo de partículas incidentes . En realidad, tan solo nos interesan las constantes i , que resultan ser

El coeficiente de transmisión de partículas viene dado por

Mientras que el coeficiente de reflexión resulta ser



El coeficiente de reflexión se anula si

es decir, si la longitud del pozo es un múltiplo de la longitud de onda der la partícula en cuestión.
Barrera de potencial

Podemos modelizar una barrera de potencial cuadrada por la función

donde es la función paso de Heaviside.
Si suponemos y procediendo de manera similar al apartado anterior, obtenemos el coeficiente de transmisión

donde


Vemos que en ningún caso podemos obtener , por lo que, aun teniendo energías inferiores a la barrera, las partículas tienen cierta probabilidad de atravesar la barrera.
En el caso que , obtenemos

Sommerfeld

Observando que las líneas de los espectros están desdobladas, Sommerfeld decidió extender el modelo de Borh incluyendo órbitas elípticas. Aplicando las bien conocidas leyes de la mecánica clásica, obtuvo ya tres de los números cuánticos: uno relaciona con la energía (el de Borh), uno relacionado con el módulo del momento angular y otro relacionado con la componente en el eje Z del momento angular . Las ecuaciones de cuantificación de Sommerfeld son

donde , y .
La cuantización de una componente del momento angular se traduce en la cuantización de la orientación de las órbitas: no pueden orientarse en cualquier dirección. Puesto que la elección de el eje Z es propia del observador, debe introducirse en el átomo externamente, por ejemplo mediante un campo magnético. Los electrones, si fueran libres, se colocarían en órbitas perpendiculares al campo, pero dada la cuantificación de Sommerfeld no todos pueden conseguirlo. Por lo tanto, según la orientación, los niveles se desdoblan. Esto se conoce como efecto Zeeman, y está comprobado experimentalmente.
Las predicciones cuantitativas del modelo de Sommerfeld funcionaban parcialmente tan solo en el átomo de hidrógeno.

Examen

Explicar brevemente las cuestiones

1) Enunciar los postulados de la Mecánica Cuántica No Relativista.

2) Enunciar los postulados, teoremas o principios debidos a Bohr que siguen conservando su validez tras la aparición de la Mecánica Cuántica.

3) Un estudiante de tercero de química realiza con un aparato último modelo la medida de la posición del electron de un atomo de hidrógeno. ¿Que obtiene?. Y si realiza la misma medida para cada uno de los átomos de un cuarto de mol, a la vez?. ¿Porqué?.

Problemas

1) Resolver la ecuación de Schrodinger para una partícula sin spin de masa m que gira siguiendo una circunferencia de radio R constante. Considerar que varia el angulo al girar y que al ser la circunferencia plana (obvio) el angulo &theta. es constante. ¿Qué condiciones de contorno debes utilizar?. ¿Está cuantizada la energía?. ¿Hay degeneración de los niveles?.

2) Un neutrón (masa en reposo 1'627 10-27 ) se mueve en un campo eléctrico producido por una carga puntual de +1 u.e.e situada a 10 Angstrom.. Se pide: a) resolver la ecuación de Schrödinger para este neutrón; b) indicar como es la energía y si pueden existir estados estacionarios para dicho neutrón; c) si la velocidad del neutrón es 0'5 c, calcular su energía.